Рассмотрим линии, определяемые уравнением второй степени относительно текущих координат
Коэффициенты уравнения действительные числа, но по крайней мере одно из чисел A,B или C отлично от 0. такие линии называют линиями (кривыми) второго порядка. Ниже мы покажем, что уравнение (1) определяет на плоскости окружность Эллипс, гиперболу или параболу.
Окружность
Простейшей кривой второго порядка является окружность. Напомним, что окружность радиуса R с центром в точке M 0 называется множество точек M плоскости удовлетворяющих условию MM 0 =R. Пусть точка M 0 в системе Oxy имеет координаты x 0 ,y 0 ,а M(x,y)- произвольная точка окружности. Тогда или
-каноническое уравнение окружности . Полагая, x 0 =y 0 =0 получим x 2 +y 2 =R 2
покажем, что уравнение окружности можно записать в виде общего уравнения второй степени (1). Для этого возведем в квадрат правую часть уравнения окружности и получим:
Для того чтобы это уравнение соответствовало (1) необходимо чтобы:
1) коэффициент B=0,
2) . Тогда получим: (2)
Последнее уравнение называется общим уравнением окружности . Поделив обе части уравнения на А ≠0 и дополнив члены содержащие x и y до полного квадрата получим:
(2)
Сравнивая это уравнение с каноническим уравнением окружности, получим, что уравнение (2) действительно уравнение окружности если:
1)A=C, 2)B=0, 3)D 2 +E 2 -4AF>0.
При выполнении этих условий центр окружности расположен в точке О , а ее радиус 
.
Эллипс
|
|
|
|
По определению 2 >2c, то есть >c.для вывода уравнения эллипса будем считать, что фокусы F 1 и F 2 лежат на оси Ox, а т.O совпала с серединой отрезка F 1 F 2 , тогда F 1 (-c,0), F 2 (c,0).
Пусть M(x,y)- произвольная точка эллипса, тогда, согласно определению эллипса MF 1 +MF 2 =2 то есть
Это и есть уравнение эллипса. Можно его преобразовать к более простому виду следующим образом:
Возводим в квадрат:
возводим в квадрат
Так как ,то 2 -c 2 >0 положим 2 -c 2 =b 2
Тогда последнее уравнение примет вид:
-это уравнение эллипса в каноническом виде.
Форма эллипса зависит от соотношения : при b= эллипс превращается в окружность. Уравнение примет вид . В качестве характеристики эллипса часто пользуются отношением . Эта величина получила название эксцентриситета эллипса, причем, 0< <1 так как 0 Исследование формы эллипса.
1) уравнение эллипса содержит x и y, только в четной степени, поэтому эллипс симметричен относительно осей Ox и Oy , а также относительно т.О (0,0), которую называют центром эллипса. 2) найдем точки пересечения эллипса с осями координат. Положив y=0 находим A 1 ( ,0) и A 2 (- ,0), в которых эллипс пересекает Ox. Положив x=0, находим B 1 (0,b) и B 2 (0,-b). Точки A 1 ,A 2 ,B 1 ,B 2 –называются вершинами эллипса. Отрезки A 1 A 2 и B 1 B 2 , а также их длины 2 и 2b называются соответственно большой и малой осями эллипса. Числа и b – соответственно большой и малой полуосями. 4)В уравнении эллипса сумма неотрицательных слагаемых равна единице. Следовательно, при возрастании одного слагаемого, другое будет уменьшаться, то есть если |x| возрастает, то |y| - уменьшается и наоборот. Из всего сказанного следует, что эллипс имеет форму изображенную на рис.2. (овальная замкнутая кривая). В декартовых координатах уравнение первой степени определяет некоторую прямую. Линии, которые в декартовых координатах определяются уравнением первой степени, называются линиями первого порядка. Следовательно, каждая прямая есть линия первого порядка. Общее уравнение прямой
(как общее уравнение первой степени) определяется уравнением вида: Ах
+ Ву
+ С
= 0. Рассмотрим неполные уравнения прямой. 1. С
= 0. Уравнение прямой имеет вид: Ах + Ву =
0; прямая проходит через начало координат. 2. В
= 0 (А
¹ 0). Уравнение имеет вид Ах
+ С
= 0 или х
= а
, где а
= Прямая проходит через точку А
(а
; 0),она параллельна оси Оу
. Число а
Ох
(рис. 1). Рис. 1
Если а
= 0, то прямая совпадает с осью Оу
. Уравнение оси ординат Оу имеет вид
: х
= 0. 3. А
= 0 (В
¹ 0). Уравнение имеет вид: Ву
+ С
= 0 или у
= b
, где b
= . Прямая проходит через точку В
(0; b
),она параллельна оси Ох
. Число b
есть величина отрезка, который отсекает прямая на оси Оу
(рис. 2). Рис. 2
Если b = 0, то прямая совпадает с осью абсцисс Ох. Уравнение оси абсцисс Ох имеет вид: у = 0.
Уравнение прямой в отрезках на осях
определяется уравнением: Где числа а
и b
являются величинами отрезков, отсекаемых прямой на координатных осях (рис. 3). (х
0 ; у
0) перпендикулярно нормальному вектору
= {A
; B
}, определяется по формуле: А
(х
– х
0) + В
(у
– у
0) = 0. Уравнение прямой, проходящей через данную точку М
(х
0 ; у
0) параллельно направляющему вектору
= {l
; m
}, имеет вид: Уравнение прямой, проходящей через две данные точки М
1 (х
1 ; у
1) и М
2 (х
2 ; у
2), определяется уравнением: Угловым коэффициентом прямой k
называется тангенс угла наклона прямой к оси Ох
, который отсчитывается от положительного направления оси к прямой против часовой стрелки, k
= tgα. Уравнение прямой с угловым коэффициентом k
имеет вид: у = kх
+ b
, где k
= tgα, b
– величина отрезка, отсекаемого прямой на оси Оу
(рис. 4). Уравнение прямой, проходящей через данную точку М
(х
0 ; у
0) в данном направлении
(угловой коэффициент k
известен), определяется по формуле: у – у
0 = k
(х
– х
0). Уравнение пучка прямых, проходящих через данную точку М
(х
0 ; у
0) (угловой коэффициент k
неизвестен), определяется по формуле: у – у
0 = k
(х
– х
0). Уравнение пучка прямых, проходящих через точку пересечения прямых
А
1 х
+ В
1 у
+ С
1 = 0 и А
2 х
+ В
2 у
+ С
2 = 0, определяется по формуле: α(А
1 х
+ В
1 у
+ С
1) + β(А
2 х
+ В
2 у
+ С
2) = 0. Угол
j, отсчитанный против часовой стрелки от прямой у = k
1 х
+ b
1 к прямой у = k
2 х
+ b
2 , определяется формулой (рис. 5): Для прямых, заданных общими уравнениями А
1 х
+ В
1 у
+ С
1 = 0 и А
2 х
+ В
2 у
+ С
2 = 0, угол между двумя прямыми определяется по формуле: Условие параллельности двух прямых имеет вид
: k
1 = k
2 или . Условие перпендикулярности двух прямых имеет вид
: или А
1 А
2 + В
1 В
2 = 0. Нормальное уравнение прямой имеет вид
: x
cosα + y
sinα – p
= 0, где p –
длина перпендикуляра, опущенного из начала координат на прямую, α – угол наклона перпендикуляра к положительному направлению оси Ох
(рис. 6). Чтобы привести общее уравнение прямой Ах
+ Ву
+ С
= 0 к нормальному виду, нужно все его члены умножить на нормирующий множитель μ
= , взятый со знаком, противоположным знаку свободного члена С
. Расстояние от точки М
(х
0 ; у
0) до прямой Ах
+ Ву
+ С
= 0 определяется по формуле: Уравнения биссектрис углов между прямыми А
1 х
+ В
1 у
+ С
1 = 0 и А
2 х
+ В
2 у
+ С
2 = 0 имеют вид: Пример 4
. Даны вершины треугольника АВС
: А
(–5; –7), В
(7; 2), С
(–6; 8). Найти: 1) длину стороны АВ
; 2) уравнения сторон АВ
и АС
и их угловые коэффициенты; 3) внутренний угол В
; 4) уравнение медианы АЕ
; 5) уравнение и длину высоты СD
; 6) уравнение биссектрисы АК
; 7) уравнение прямой, проходящей через точку Е
параллельно стороне АВ
; 8) координаты точки М
, расположенной симметрично точке А
относительно прямой СD
. 1. Расстояние d
между двумя точками А
(х
1 ; у
1) и В
(х
2 ; у
2) определяется по формуле: Найдем длину стороны АВ
как расстояние между двумя точками А
(–7; –8) и В
(8; –3): 2. Уравнение прямой, проходящей через точки А
(х
1 ; у
1) и В
(х
2 ; y
2), имеет вид: Подставляя координаты точек А
и В
, получим уравнение стороны АВ
: 3(х
+ 5) = 4(у
+ 7); 3х
– 4у
– 13 = 0 (AВ
). Для нахождения углового коэффициента k AB
прямой (АВ
) разрешим полученное уравнение относительно у
: 4y
= 3x
– 13; – уравнение прямой (АВ
)с угловым коэффициентом, Аналогично подставляя координаты точек В
и С
, получим уравнение прямой (ВС
): 6х
– 42 = –13у
+ 26; 6x +
13y
– 68 = 0 (BC
). Разрешим уравнение прямой (ВС
)относительно у
: . 3. Тангенс угла j между двумя прямыми, угловые коэффициенты которых равны k
1 и k
2 , определяется по формуле: Внутренний угол В
образован прямыми (АВ
) и (ВС
), причем это острый угол, на который надо повернуть прямую ВС
в положительном направлении (против часовой стрелки) до ее совпадения с прямой (АВ
).
Поэтому подставим в формулу k
1 = , k
2 = : ÐВ
= arctg = arctg 1,575 » 57,59°. 4. Чтобы найти уравнение медианы (АЕ
), определим сначала координаты точки Е,
которая является серединой стороны ВС.
Для этого применим формулы деления отрезка на две равные части: Следовательно, точка Е
имеет координаты: Е
(0,5; 5). Подставляя в уравнение прямой, проходящей через две точки, координаты точек А
и Е
, находим уравнение медианы (АЕ
): 24х
– 11у
+ 43 = 0 (АЕ
). 5. Так как высота CD
перпендикулярна стороне АВ
, то прямая (АВ
)перпендикулярна прямой (CD
). Для нахождения углового коэффициента высоты CD,
воспользуемся условием перпендикулярности двух прямых: Уравнение прямой, проходящей через данную точку М
(х
0 ; у
0) в заданном направлении (угловой коэффициент k
известен), имеет вид: y – у
0 = k
(x – x
0). Подставляя в последнее уравнение координаты точки С
(–6; 8) и , получим уравнение высоты CD
: у
– 8 = (х –
(–6)), 3у
– 24 = – 4х
– 24, 4х
+ 3у
= 0 (CD
). Расстояние от точки М
(х
0 ; у
0) до прямой Аx + By+C =
0 определяется по формуле: Длину высоты CD
найдем как расстояние от точки С
(–6; 8) до прямой (АВ
): 3х
– 4у
– 13. Подставляя в формулу необходимые величины, найдем длину CD
: 6. Уравнения биссектрис углов между прямыми Аx + By+
C =
0 и Уравнение биссектрисы АК
найдем как одно из уравнений биссектрис углов между прямыми (АВ
)и (АС
). Составим уравнение прямой (АС
) как уравнение прямой, проходящей через две точки А
(–5; –7) и С
(–6; 8): Преобразуем последнее уравнение: 15(х
+ 5) = – (у
+ 7); 15х + у +
82 = 0 (AС
). Подставляя коэффициенты из общих уравнений прямых (АВ
)и (АС
), получим уравнения биссектрис углов: Преобразуем последнее уравнение: ; (3х
– 4у
– 13) = ± 5 (15х + у +
82); 3 х –
4 у
– 13 = ± (75х
+5у
+ 410). Рассмотрим два случая: 1) 3 х –
4 у
– 13 = 75х
+5у
+ 410.у
l
АВ
. Треугольник АВС,
высота CD
, медиана АЕ
, биссектриса АК
, прямая l
и точка М
построены в системе координат Оху
(рис.7). 1. Линии второго порядка на евклидовой плоскости. 2. Инварианты уравнений линий второго порядка. 3. Определение вида линий второго порядка по инвариантам ее уравнения. 4. Линии второго порядка на аффинной плоскости. Теорема единственности. 5. Центры линий второго порядка. 6. Асимптоты и диаметры линий второго порядка. 7. Привидение уравнений линий второго порядка к простейшему. 8. Главные направления и диаметры линий второго порядка. СПИСОК ИСПОЛЬЗУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ 1. Линии второго порядка в евклидовой плоскости. Определение:
Евклидова плоскость
– это пространство размерности 2, Линии второго порядка представляют собой линии пересечения кругового конуса с плоскостями, не проходящими через его вершину. Эти линии часто встречаются в различных вопросах естествознания. Например, движение материальной точки под воздействием центрального поля силы тяжести происходит по одной из этих линий. Если секущая плоскость пересекает все прямолинейные образующие одной полости конуса, то в сечении получится линия, называемая эллипсом
(рис. 1.1,а). Если секущая плоскость пересекает образующие обеих полостей конуса, то в сечении получится линия, называемая гиперболой
(рис. 1.1,6). И, наконец, если секущая плоскость параллельна одной из образующих конуса (на 1.1, в
- это образующая АВ),
то в сечении получится линия, называемая параболой.
Рис. 1.1 дает наглядное представление о форме рассматриваемых линий. Рисунок 1.1 Общее уравнение линии второго порядка имеет следующий вид:
(1)
(1*)
Эллипсом
называется множесво точек плоскости, для которых сумма расстояний до двух
фиксированных точек
F
1
и
F
2
этой плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная.
При этом не исключается совпадение фокусов эллипса. Очевидно, если фокусы совпадают, то эллипс представляет собой окружность.
Для вывода канонического уравнения эллипса выберем начало О декартовой системы координат в середине отрезка F
1
F
2
,
а оси Ох
и Оу
направим так, как указано на рис. 1.2 (если фокусы F
1
и F
2
совпадают, то О совпадает с F
1
и F
2 , а за ось Ох
можно взять любую ось, проходящую через О).
Пусть длина отрезка F
1
F
2
F
1
и F
2
соответственно имеют координаты (-с, 0) и (с, 0). Обозначим через 2а
постоянную, о которой говорится в определении эллипса. Очевидно, 2а > 2с, т. е. а > с (Если М
- точка эллипса (см. рис. 1.2), то |
MF
]
|+ |
MF
2
| = 2
a
,
а так как сумма двух сторон MF
1
и MF
2
треугольника MF
1
F
2
больше третьей стороны F
1
F
2
= 2c, то 2а > 2с. Случай 2а = 2с естественно исключить, так как тогда точка М
располагается на отрезке F
1
F
2
и эллипс вырождается в отрезок.).
r
1
+
r
2
= 2а
(1.1) является необходимым и достаточным условием расположения точки М (х, у) на данном эллипсе.
Используя формулу расстояния между двумя точками, получим Из (1.1) и (1.2) вытекает, что соотношение
представляет собой необходимое и достаточное условие расположения точки М с координатами х и у на данном эллипсе.
Поэтому соотношение (1.3) можно рассматривать как уравнение эллипса.
Путем стандартного приема «уничтожения радикалов» это уравнение приводится к виду Так как уравнение (1.4) представляет собой алгебраическое следствие
уравнения эллипса (1.3), то координаты х и у
любой точки М
эллипса будут удовлетворять и уравнению (1.4). Поскольку при алгебраических преобразованиях, связанных с избавлением от радикалов, могли появиться «лишние корни», мы должны убедиться в том, что любая точка М,
координаты которой удовлетворяют уравнению (1.4), располагается на данном эллипсе. Для этого, очевидно, достаточно доказать, что величины r 1
и r 2
для каждой точки удовлетворяют соотношению (1.1). Итак, пусть координаты х
и у
точки М
удовлетворяют уравнению (1.4). Подставляя значение у 2
из (1.4) в правую часть выражения (1.2) для г 1 после несложных преобразований найдем, чтоСовершенно аналогично найдем, что
(1.6) т. е.r
1
+
r
2
= 2а,
и поэтому точка М располагается на эллипсе. Уравнение (1.4) называется каноническим уравнением эллипса.
Величины а
и b
называются соответственно большой и малой полуосями эллипса
(наименование «большая» и «малая» объясняется тем, что а>Ь).
Замечание
. Если полуоси эллипса а
и b
равны, то эллипс представляет собой окружность, радиус которой равен R
=
a
=
b
, а центр совпадает с началом координат. Гиперболой
называется множество точек плоскости, для которых абсолютная величина разности расстояний до двух фиксированных точек,
F
1
и
F
2
этой плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная (Фокусы F
1
и F
2
гиперболы естественно считать различными, ибо если указанная в определении гиперболы постоянная не равна нулю, то нет ни одной точки плоскости при совпаденииF
1
и F
2
,
которая бы удовлетворяла требованиям определения гиперболы. Если же эта постоянная равна нулю и F
1
совпадает с F
2
,
то любая точка плоскости удовлетворяет требованиям определения гиперболы.).
Для вывода канонического уравнения гиперболы выберем начало координат в середине отрезка F
1
F
2
,
а оси Ох
и Оу
направим так, как указано на рис. 1.2. Пусть длина отрезка F
1
F
2
равна 2с. Тогда в выбранной системе координат точки F
1
и F
2
соответственно имеют координаты (-с, 0) и (с, 0) Обозначим через 2а
постоянную, о которой говорится в определении гиперболы. Очевидно, 2a< 2с, т. е. a
< с.
Пусть М
- точка плоскости с координатами (х, у)
(рис. 1,2). Обозначим через r 1 и r 2 расстояния MF
1
и MF
2
.
Согласно определению гиперболы равенство
является необходимым и достаточным условием расположения точки М на данной гиперболе.
Используя выражения (1.2) для r 1 и r 2 и соотношение (1.7), получим следующее необходимое и достаточное условие расположения точки М с координатами х и у на данной гиперболе:
Используя стандартный прием «уничтожения радикалов», приведем уравнение (1.8) к виду Мы должны убедиться в том, что уравнение (1.9), полученное путем алгебраических преобразований уравнения (1.8), не приобрело новых корней. Для этого достаточно доказать, что для каждой точки М,
координаты х
и у
которой удовлетворяют уравнению (1.9), величины r 1 и r 2 удовлетворяют соотношению (1.7). Проводя рассуждения, аналогичные тем, которые были сделаны при выводе формул (1.6), найдем для интересующих нас величин r 1 и r 2 следующие выражения: Таким образом, для рассматриваемой точки М
имеем Уравнение (1.9) называется каноническим уравнением гиперболы.
Величины а
и b
называются соответственно действительной и мнимой полуосями гиперболы.
Параболой
называется множество точек плоскости, для которых расстояние до некоторой фиксированной точки
F
этой плоскости равно расстоянию до некоторой фиксированной прямой, также расположенной в рассматриваемой плоскости.
Кривыми второго порядка
на плоскости называются линии,
определяемые уравнениями, в которых переменные координаты x
и y
содержатся во второй степени. К ним относятся эллипс, гипербола и парабола. Общий вид уравнения кривой второго порядка следующий: где A, B, C, D, E, F
- числа и хотя бы один из коэффициентов A, B, C
не равен нулю. При решении задач с кривыми второго порядка чаще всего рассматриваются
канонические уравнения эллипса, гиперболы и параболы. К ним легко перейти от общих уравнений,
этому будет посвящён пример 1 задач с эллипсами. Определение эллипса.
Эллипсом называется множество
всех точек плоскости, таких, для которых сумма расстояний до точек, называемых фокусами,
есть величина постоянная и бОльшая, чем расстояние между фокусами. Фокусы обозначены как и
на рисунке ниже. Каноническое уравнение эллипса имеет вид: где a
и b
(a
> b
) - длины
полуосей, т. е. половины длин отрезков, отсекаемых эллипсом на осях координат. Прямая, проходящая через фокусы эллипса, является его осью симметрии.
Другой осью симметрии эллипса является прямая, проходящая через середину отрезка
перпендикулярно этому отрезку. Точка О
пересечения этих прямых служит центром
симметрии эллипса или просто центром эллипса. Ось абсцисс эллипс пересекает в точках (a
, О
) и
(- a
, О
), а ось ординат - в точках (b
, О
) и
(- b
, О
). Эти четыре точки называются вершинами эллипса. Отрезок
между вершинами эллипса на оси абсцисс называется его большой осью, а на оси ординат -
малой осью. Их отрезки от вершины до центра эллипса называются полуосями. Если a
= b
,
то уравнение эллипса принимает вид .
Это уравнение окружности радиуса a
, а
окружность - частный случай эллипса. Эллипс можно получить из окружности
радиуса a
, если сжать её в a
/b
раз вдоль оси Oy
. Пример 1.
Проверить, является ли линия, заданная
общим уравнением Решение. Производим преобразования общего уравнения. Применяем перенос
свободного члена в правую часть, почленное деление уравнения на одно и то же число и
сокращение дробей: Ответ. Полученное в результате преобразований уравнение является
каноническим уравнением эллипса. Следовательно, данная линия - эллипс. Пример 2.
Составить каноническое уравнение эллипса,
если его полуоси соответственно равны 5 и 4. Решение. Смотрим на формулу канонического уравения эллипса и подставляем:
бОльшая полуось - это a
= 5
, меньшая полуось -
это b
= 4
. Получаем каноническое уравнение
эллипса: Точки и
, обозначенные зелёным на большей оси, где называются фокусами
. называется эксцентриситетом
эллипса. Отношение b
/a
характеризует "сплюснутость" эллипса.
Чем меньше это отношение, тем сильнее эллипс вытянут вдоль большой оси. Однако степень
вытянутости эллипса чаще принято выражать через эксцентриситет, формула которого приведена
выше. Для разных эллипсов эксцентриситет меняется в пределах от 0 до 1, оставаясь всегда
меньше единицы. Пример 3.
Составить каноническое уравнение эллипса,
если расстояние между фокусами равно 8 и бОльшая ось равна 10. Решение. Делаем несложные умозаключения: Если бОльшая ось равна 10, то её половина, т. е. полуось
a
= 5
, Если расстояние между фокусами равно 8, то число c
из
координат фокусов равно 4. Подставляем и вычисляем: Результат - каноническое уравнение эллипса: Пример 4.
Составить каноническое уравнение эллипса,
если его бОльшая ось равна 26 и эксцентриситет . Решение. Как следует и из размера большей оси, и из уравнения
эксцентриситета, бОльшая полуось эллипса a
= 13
.
Из уравнения эсцентриситета выражаем число c
, нужное для вычисления длины меньшей
полуоси: Вычисляем квадрат длины меньшей полуоси: Составляем каноническое уравнение эллипса: Пример 5.
Определить фокусы эллипса, заданного
каноническим уравнением . Решение. Следует найти число c
, определяющее первые
координаты фокусов эллипса: Получаем фокусы эллипса: Пример 6.
Фокусы эллипса расположены на оси Ox
симметрично
относительно начала координат. Составить каноническое уравнение эллипса, если: 1) расстояние между фокусами 30, а большая ось 34 2) малая ось 24, а один из фокусов находится в точке (-5; 0) 3) эксцентриситет
, а один из
фокусов находится в точке (6; 0) Если -
произвольная точка эллипса (на чертеже обозначена зелёным в верхней правой части эллипса) и
-
расстояния до этой точки от фокусов , то
формулы для расстояний - следующие: Для каждой точки, принадлежащей эллипсу, сумма расстояний от фокусов
есть величина постоянная, равная 2a
. Прямые, определяемые уравнениями называются директрисами
эллипса (на чертеже - красные линии
по краям). Из двух вышеприведённых уравнений следует, что для любой точки эллипса где и -
расстояния этой точки до директрис и
. Пример 7.
Дан эллипс .
Составить уравнение его директрис. Решение. Смотрим в уравнение директрис и обнаруживаем, что требуется
найти эксцентриситет эллипса, т. е. .
Все данные для этого есть. Вычисляем: Получаем уравнение директрис эллипса: Пример 8.
Составить каноническое уравнение
эллипса, если его фокусами являются точки ,
а директрисами являются прямые . Окружностью
называется совокупность всех точек плоскости, равноудаленных от одной данной точки, называемой центром окружности.
Расстояние от центра окружности до любой точки на окружности называется. радиусом окружности.
- каноническое уравнение окружности(16) - центр окружности. Если центр окружности лежит в начале координат, то уравнение окружности
(16 .) Эллипсом
называется совокупность всех точек плоскости, сумма расстояний которых от двух данных точек этой плоскости (называемых фокусами
этого эллипса) есть величина постоянная. r 1 r 2 r 1 +r 2 =2a (-а;0) F 1 (-c;0) 0 F 2 (c;0) (а;0) X Обозначим для краткости a 2 -b 2 =c 2 (*), тогда уравнение эллипса:
(17) Если положить y=0, то получается , а если положить х=0, получается ; значит, и - это длины полуосей эллипса – большой
() и малой
(). Кроме того, каждое из слагаемых в левой части не может быть больше единицы, откуда , , и потому весь эллипс расположен внутри прямоугольника. Точки A,B,C,D, в которых эллипс пересекается своими осями симметрии, называются вершинами эллипса.
Отношение Гиперболой
называется совокупность всех точек плоскости, модуль разности расстояний которых от двух данных точек этой плоскости (называемых фокусами
этой гиперболы) есть величина постоянная. Середина расстояния между фокусами называется центром гиперболы
. r 2 r 1 –r 2 =2a F 1 (-c;0) 0 F 2 (c;0) x Обозначим a 2 -c 2 =-b 2 (**),уравнение гиперболы:
(18) Из этого уравнения видно, что и гипербола имеет две оси симметрии (главные оси), а так же центр симметрии (центр гиперболы). Отношение Если положить y=0, то получается , а если положить х=0, получается . Значит ось Ох пересекает гиперболу в двух точках (вершинах гиперболы), это – вещественная ось
; Ось Оу гиперболу не пересекает – это «мнимая ось
.
» Всякий отрезок, соединяющий две точки гиперболы, если он проходит через центр, называется диаметром гиперболы.
Прямая, к которой кривая линия приближается сколь угодно близко, но никогда не пересекает ее называется асимптотой кривой.
Гипербола имеет две асимптоты. Их уравнения:
(19) Параболой
называется совокупность всех точек плоскости расстояние от каждой из которых до данной точки (называемой фокусом)
равно расстоянию до данной прямой (называемой директрисой)
. - параметр параболы.
Парабола имеет одну ось симметрии. Точка пересечения параболы с осью симметрии называется вершиной параболы
. Каноническое уравнение параболы с вершиной в начале координат, осью симметрии которой служит ось Ох и ветви направлены вправо имеет вид
(20) Уравнение ее директрисы: Каноническое уравнение параболы с вершиной в начале координат, осью симметрии которой служит ось Ох и ветви направлены влево имеет вид Уравнение ее директрисы: Каноническое уравнение параболы с вершиной в начале координат, осью симметрии которой служит ось Оу и ветви направлены вверх имеет вид Уравнение ее директрисы: Каноническое уравнение параболы с вершиной в начале координат, осью симметрии которой служит ось Оу и ветви направлены вниз имеет вид Уравнение ее директрисы: F 0 p/2 x -p/2 0 x –p/2 Тема: Функции одной независимой переменной, их графики.
Понятие функции
Одним из основных математических понятий является понятие функции. Понятие функции связано с установлением зависимости (связи) между элементами двух множеств. Пусть даны два непустых множества X и Y. Соответствие ƒ, которое каждому элементу хÎ X сопоставляет один и только один элемент уÎ Y, называется функцией и записывается у=ƒ(х), хÎ X или ƒ:
X→Y. Говорят еще, что функция ƒ отображает множество X на множество Y. Например, соответствия ƒ и g, изображенные на рисунке 98 а и б, являются функциями, а на рисунке 98 в и г - нет. В случае в - не каждому элементу хÎX соответствует элемент уÎY. В случае г не соблюдается условие однозначности. Множество X называется областью определения функции ƒ и обозначается D(f). Множество всех уÎY называется множеством значений функции ƒ и обозначается Е(ƒ). Числовые функции. График функции. Способы задания функций
Пусть задана функция ƒ : X→Y. Если элементами множеств X и Y являются действительные числа (т. е. XÌ R и YÌ R), то функцию ƒ называют числовой функцией. В дальнейшем будем изучать (как правило) числовые функции, для краткости будем именовать их просто функциями и записывать у=ƒ(х). Переменная х называется при этом аргументом или независимой переменной, а у - функцией или зависимой переменной (от х). Относительно самих величин х и у говорят, что они находятся в функциональной зависимости. Иногда функциональную зависимость у от х пишут в виде у=у(х), не вводя новой буквы (ƒ) для обозначения зависимости. Частное значение
функции ƒ(х) при х=a записывают так: ƒ(a). Например, если ƒ(х)=2х 2 -3, то ƒ(0)=-3, ƒ(2)=5. Графиком функции
у=(х) называется множество всех точек плоскости Оху, для каждой на которых х является значением аргумента, а у - соответствующим значением функции. Например, графиком функции у=√(1-х 2) является верхняя полуокружность радиуса R=1 с центром в О(0;0) (см. рис. 99). Чтобы задать функцию у=ƒ(х), необходимо указать правило, позволяющее, зная х, находить соответствующее значение у. Наиболее часто встречаются три способа задания функции: аналитический, табличный, графический. Аналитический способ
: функция задается в виде одной или нескольких формул или уравнений. Если область определения функции у = ƒ(х) не указана, то предполагается, что она совпадает с множеством всех значений аргумента, при которых соответствующая формула имеет смысл. Так, областью определения функции у= √(1-х2)является отрезок [-1; 1]. Аналитический способ задания функции является наиболее совершенным, так как к нему приложены методы математического анализа, позволяющие полностью исследовать функцию у=ƒ(х). Графический способ: задается график функции. Часто графики вычерчиваются автоматически самопишущими приборами или изображаются на экране дисплея. Значения функции у, соответствующие тем или иным значениям аргумента х, непосредственно находятся из этого графика. Преимуществом графического задания является его наглядность, недостатком - его неточность. Табличный способ: функция задается таблицей ряда значений аргумента и соответствующих значений функции. Например, известные таблицы значений тригонометрических функций, логарифмические таблицы. На практике часто приходится пользоваться таблицами значений функций, полученных опытным путем или в результате наблюдений.
A 1 ( ,0)
A2(- ,0)
Следовательно, все точки эллипса лежат внутри прямоугольника, образованного прямыми x=± ,y=±b. (Рис.2.)
B 2 (0,b)
А
1 x + B
1 y+
C
1 =
0 определяются по формуле:Эллипс, заданный каноническим уравнением
,
эллипсом.
.
.
Продолжаем решать задачи на эллипс вместе
,
.
В (0;b)M(x,y)
называется эксцентриситетом эллипса.
называется эксцентриситетом гиперболы.
(20 ,)
(20 ,)(20 ,)
y y
Y y
p/2
Тема 2.1. Лекция 7.Занятие 10
